高中数学教学方案设计模板(汇总十篇)。

作为一名为他人授业解惑的教育工作者，总归要编写教学设计，借助教学设计可以提高教学效率和教学质量。那么问题来了，教学设计应该怎么写？以下是小编为大家收集的高一数学教学设计，希望能够帮助到大家。

高中数学教学方案设计模板 篇1

1.课题

填写课题名称（高中代数类课题）

2.教学目标

(1)知识与技能：

通过本节课的学习，掌握......知识，提高学生解决实际问题的能力；

(2)过程与方法：

通过......（讨论、发现、探究），提高......（分析、归纳、比较和概括）的能力；

(3)情感态度与价值观：

通过本节课的学习，增强学生的学习兴趣，将数学应用到实际生活中，增加学生数学学习的乐趣。

3.教学重难点

(1)教学重点：本节课的知识重点

(2)教学难点：易错点、难以理解的知识点

4.教学方法（一般从中选择3个就可以了）

(1)讨论法

(2)情景教学法

(3)问答法

(4)发现法

(5)讲授法

5.教学过程

(1)导入

简单叙述导入课题的方式和方法（例：复习、类比、情境导出本节课的课题）

(2)新授课程（一般分为三个小步骤）

①简单讲解本节课基础知识点（例：奇函数的定义）。

②归纳总结该课题中的重点知识内容，尤其对该注意的一些情况设置易错点，进行强调。可以设计分组讨论环节（分组判断几组函数图像是否为奇函数，并归纳奇函数图像的特点。设置定义域不关于原点对称的函数是否为奇函数的易错点）。

③拓展延伸，将所学知识拓展延伸到实际题目中，去解决实际生活中的问题。

（在新授课里面一定要表下出讲课的大体流程，但是不必太过详细。）

(3)课堂小结

教师提问，学生回答本节课的收获。

(4)作业提高

布置作业（尽量与实际生活相联系，有所创新）。

6.教学板书

2.高中数学教案格式

一．课题（说明本课名称）

二．教学目的（或称教学要求，或称教学目标，说明本课所要完成的教学任务）

三．课型（说明属新授课，还是复习课）

四．课时（说明属第几课时）

五．教学重点（说明本课所必须解决的关键性问题）

六．教学难点（说明本课的学习时易产生困难和障碍的知识传授与能力培养点）

七．教学方法要根据学生实际，注重引导自学，注重启发思维

八．教学过程（或称课堂结构，说明教学进行的内容、方法步骤）

九．作业处理（说明如何布置书面或口头作业）

十．板书设计（说明上课时准备写在黑板上的内容）

十一．教具（或称教具准备，说明辅助教学手段使用的工具）

十二．教学反思：（教者对该堂课教后的感受及学生的收获、改进方法）

3.高中数学教案范文

【教学目标】

1.知识与技能

(1)理解等差数列的定义，会应用定义判断一个数列是否是等差数列：

(2)账务等差数列的通项公式及其推导过程：

(3)会应用等差数列通项公式解决简单问题。

2.过程与方法

在定义的理解和通项公式的推导、应用过程中，培养学生的观察、分析、归纳能力和严密的逻辑思维的能力，体验从特殊到一般，一般到特殊的认知规律，提高熟悉猜想和归纳的能力，渗透函数与方程的思想。

3.情感、态度与价值观

通过教师指导下学生的自主学习、相互交流和探索活动，培养学生主动探索、用于发现的求知精神，激发学生的学习兴趣，让学生感受到成功的喜悦。在解决问题的过程中，使学生养成细心观察、认真分析、善于总结的良好习惯。

【教学重点】

①等差数列的概念;

②等差数列的通项公式

【教学难点】

①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义;

②等差数列的通项公式的推导过程.

【学情分析】

我所教学的学生是我校高一(7)班的学生(平行班学生)，经过一年的高中数学学习，大部分学生知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。

【设计思路】

1、教法

①启发引导法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构;有利于突出重点，突破难点;有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性.

②分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性.

③讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点.

2、学法

引导学生首先从三个现实问题(数数问题、水库水位问题、储蓄问题)概括出数组特点并抽象出等差数列的概念;接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式;可以对各种能力的同学引导认识多元的推导思维方法.

【教学过程】

一、创设情境，引入新课

1、从0开始，将5的倍数按从小到大的顺序排列，得到的数列是什么?

2、水库管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼.如果一个水库的水位为18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m.那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位(单位：m)组成一个什么数列?

3、我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本息计算下一期的利息.按照单利计算本利和的公式是：本利和=本金×(1+利率×存期).按活期存入10000元钱，年利率是0.72%，那么按照单利，5年内各年末的本利和(单位：元)组成一个什么数列?

教师：以上三个问题中的数蕴涵着三列数.

学生：

①0，5，10，15，20，25，….

②18，15.5，13，10.5，8，5.5.

③10072，10144，10216，10288，10360.

(设置意图：从实例引入,实质是给出了等差数列的现实背景,目的是让学生感受到等差数列是现实生活中大量存在的数学模型.通过分析,由特殊到一般，激发学生学习探究知识的自主性，培养学生的归纳能力.

二、观察归纳，形成定义

①0，5，10，15，20，25，….

②18，15.5，13，10.5，8，5.5.

③10072，10144，10216，10288，10360.

思考1上述数列有什么共同特点?

思考2根据上数列的共同特点，你能给出等差数列的一般定义吗?

思考3你能将上述的文字语言转换成数学符号语言吗?

教师：引导学生思考这三列数具有的共同特征，然后让学生抓住数列的特征，归纳得出等差数列概念.

学生：分组讨论，可能会有不同的答案：前数和后数的差符合一定规律;这些数都是按照一定顺序排列的…只要合理教师就要给予肯定.

教师引导归纳出：等差数列的定义;另外，教师引导学生从数学符号角度理解等差数列的定义.

(设计意图：通过对一定数量感性材料的观察、分析，提炼出感性材料的本质属性;使学生体会到等差数列的规律和共同特点;一开始抓住：“从第二项起，每一项与它的前一项的差为同一常数”，落实对等差数列概念的准确表达.)

三、举一反三，巩固定义

1、判定下列数列是否为等差数列?若是，指出公差d.

(1)1,1,1,1,1;

(2)1,0,1,0,1;

(3)2,1,0,-1,-2;

(4)4,7,10,13,16.

教师出示题目,学生思考回答.教师订正并强调求公差应注意的问题.

注意：公差d是每一项(第2项起)与它的前一项的差，防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可以是正数，负数，也可以为0.

(设计意图：强化学生对等差数列“等差”特征的理解和应用).

2、思考4:设数列{an}的通项公式为an=3n+1，该数列是等差数列吗?为什么?

(设计意图：强化等差数列的.证明定义法)

四、利用定义，导出通项

1、已知等差数列：8，5，2，…，求第200项?

2、已知一个等差数列{an｝的首项是a1，公差是d，如何求出它的任意项an呢?

教师出示问题，放手让学生探究，然后选择列式具有代表性的上去板演或投影展示.根据学生在课堂上的具体情况进行具体评价、引导，总结推导方法，体会归纳思想以及累加求通项的方法;让学生初步尝试处理数列问题的常用方法.

(设计意图：引导学生观察、归纳、猜想，培养学生合理的推理能力.学生在分组合作探究过程中，可能会找到多种不同的解决办法，教师要逐一点评，并及时肯定、赞扬学生善于动脑、勇于创新的品质，激发学生的创造意识.鼓励学生自主解答，培养学生运算能力)

五、应用通项，解决问题

1、判断100是不是等差数列2，9，16，…的项?如果是，是第几项?

2、在等差数列{an}中，已知a5=10，a12=31，求a1，d和an.

3、求等差数列3,7,11，…的第4项和第10项

教师：给出问题，让学生自己操练，教师巡视学生答题情况.

学生：教师叫学生代表总结此类题型的解题思路，教师补充：已知等差数列的首项和公差就可以求出其通项公式

(设计意图：主要是熟悉公式,使学生从中体会公式与方程之间的联系.初步认识“基本量法”求解等差数列问题.)

六、反馈练习：教材13页练习1

七、归纳总结：

1、一个定义：

等差数列的定义及定义表达式

2、一个公式：

等差数列的通项公式

3、二个应用：

定义和通项公式的应用

教师：让学生思考整理，找几个代表发言，最后教师给出补充

(设计意图：引导学生去联想本节课所涉及到的各个方面，沟通它们之间的联系，使学生能在新的高度上去重新认识和掌握基本概念，并灵活运用基本概念.)

【设计反思】

本设计从生活中的数列模型导入，有助于发挥学生学习的主动性，增强学生学习数列的兴趣.在探索的过程中，学生通过分析、观察，归纳出等差数列定义，然后由定义导出通项公式，强化了由具体到抽象，由特殊到一般的思维过程，有助于提高学生分析问题和解决问题的能力.本节课教学采用启发方法，以教师提出问题、学生探讨解决问题为途径，以相互补充展开教学，总结科学合理的知识体系，形成师生之间的良性互动，提高课堂教学效率.

高中数学教学方案设计模板 篇2

教学目标

1、应用正弦余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤及基本思路

(1)分析，(2)建模，(3)求解，(4)检验;

2、实际问题中的有关术语、名称：

(1)仰角与俯角：均是指视线与水平线所成的角;

(2)方位角：是指从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角;

(3)方向角：常见的如：正东方向、东南方向、北偏东、南偏西等;

3、用正弦余弦定理解实际问题的常见题型有：

测量距离、测量高度、测量角度、计算面积、航海问题、物理问题等;

教学重难点

1、应用正弦余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤及基本思路

(1)分析，(2)建模，(3)求解，(4)检验;

2、实际问题中的.有关术语、名称：

(1)仰角与俯角：均是指视线与水平线所成的角;

(2)方位角：是指从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角;

(3)方向角：常见的如：正东方向、东南方向、北偏东、南偏西等;

3、用正弦余弦定理解实际问题的常见题型有：

测量距离、测量高度、测量角度、计算面积、航海问题、物理问题等;

教学过程

一、知识归纳

1、应用正弦余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤及基本思路

(1)分析，(2)建模，(3)求解，(4)检验;

2、实际问题中的有关术语、名称：

(1)仰角与俯角：均是指视线与水平线所成的角;

(2)方位角：是指从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角;

(3)方向角：常见的如：正东方向、东南方向、北偏东、南偏西等;

3、用正弦余弦定理解实际问题的常见题型有：

测量距离、测量高度、测量角度、计算面积、航海问题、物理问题等;

二、例题讨论

一)利用方向角构造三角形

四)测量角度问题

例4、在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东。

高中数学教学方案设计模板 篇3

一、教学目标

2、 过程与方法目标：通过让学生探 究点、线、面之间的相互关系，掌握文字语言、符号语言、图示语 言之间的相互转化。

3、 情感、态度与价值目标：通过用集合论 的观点和运动的观点讨论点、线、面、体之间的相互关系培养学生会从多角度，多方面观察和分析问题，体会将理论知识和现实生活建立联系的快乐，从而提高学生学习数学的兴趣。

二、教学重点和难点

重点：点、线、面之间的相互关系，以及文字语言、符号语言、图示语言之间的相互转化。

难点：从集合的角度理解点、线、面之间的相互关系。

三、教学方法和教学手段

在上课前将问题用学案的形式发给各组学生，让学生先在课下研究探讨，在课上以小组为单位就学案中的问题展开讨论并发表自己组的研究结果，并引导同学展开争论，同时利用课件给 同学一个直观的展示，然后得出结论。下附学生的`学案

四、教学过程

教学环节 教学内容 师生互动 设计意图

课题引入 让同学们观察几个几何体，从感性上对几何体有个初步的认识，并总结出空间立体几何研究的几个基本元素。 学生观察、讨论、总结，教师引导。 提高学生的学习兴趣

新课讲解

基础知识

能力拓展

探索研究

一、构成几何体的基本元素。

点、线、面

二、从集合的角度解释点、线、面、体之间的相互关系。

点是元素，直线是点的集合，平面是点的集合，直线是平面的子集。

三、从运动学的角度解释点、线、面、体之间的相互关系。

1、 点运动成直线和曲线。

2、 直线有两种运动方式：平行移动和绕点转动。

3、 平行移动形成平面和曲面。

4、 绕点转动形成平面和曲面。

5、 注意直线的两种运动方式形成的曲面的区别。

6、 面运动成体。

四、点、线、面、之间的相互位置关系。

1、 点和线的位置关系。

点A

2、 点和面的位置关系。

3、 直线和直线的位置关系。

4 、 直线和平面的位置关系。

5、 平面和平面的位置关系。 通过对几何体的观察、讨论由学生自己总结。

引领学生回忆元素、集合的相互关系，讨论、归纳点、线、面之间的相互关系。

通过课件演示及学生的讨论，得出从 运动学的角度发现点、线、面之间的相互关系。

引导学生由生活中的实际例子总结出点、线、面之间的相互位置关系，让学生有个感性认识。 培养学生的观察能力。

培养学生将所学知识建立相互联系的能力。

让学生在观察中发现点、线、面之间的相互运动规律，为以后学习几何体奠定基础。

培养学生将学习联系实际的习惯，锻炼学生由感性认识上升为理性知识的能力。

课堂小结

1、 学习了构成几何体的基本元素。

2、 掌握了点、线、面之间的相互关系。

3、 了解了点、线、面之间的相互的位置关系。 由学生总结归纳。 培养学生总结、归纳、反思的学习习惯。

课后作业 试着画出点、线、面之间的几种位置关系。 学生课后研究完成。 检验学生上课的听课效果及观察能力。

高中数学教学方案设计模板 篇4

一、教学目标

理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式和前n项和公式。

能根据题目条件判断数列是否为等差数列，并求出等差数列的首项、公差等参数。

能运用等差数列的性质解决简单问题。

二、教学重点

等差数列的概念、通项公式和前n项和公式。

三、教学难点

等差数列通项公式和前n项和公式的应用。

四、教学过程

导入新课

通过观察一组数列（如1,3,5,7,9…），引出等差数列的概念，强调等差数列的特点是每个相邻两项的差都相等。

讲授新课

详细解释等差数列的概念，包括首项、公差等要素。

推导等差数列的通项公式和前n项和公式，并通过实例进行说明。

通过练习题让学生练习判断数列是否为等差数列，并求出等差数列的首项、公差等参数。

课堂小结

总结等差数列的`概念、通项公式和前n项和公式，强调它们在实际问题中的应用。

提醒学生注意等差数列性质的灵活运用。

作业布置

布置相关练习题，巩固学生对等差数列概念及性质的理解，并提高他们运用公式解决实际问题的能力。

以上是两个高中数学备课教案的示例，旨在帮助学生理解函数和等差数列的基本概念及性质，并能够应用相关知识解决实际问题。在实际教学中，教师可根据学生的实际情况和需要进行适当的调整和完善。

高中数学教学方案设计模板 篇5

一、教材

《直线与圆的位置关系》是高中人教版必修2第四章第二节的内容，直线和圆的位置关系是本章的重点内容之一。从知识体系上看，它既是点与圆的位置关系的延续与提高，又是学习切线的判定定理、圆与圆的位置关系的基础。从数学思想方法层面上看它运用运动变化的观点揭示了知识的发生过程以及相关知识间的内在联系，渗透了数形结合、分类讨论、类比、化归等数学思想方法，有助于提高学生的思维品质。

二、学情

学生初中已经接触过直线与圆相交、相切、相离的定义和判定;且在上节的学习过程中掌握了点的坐标、直线的方程、圆的方程以及点到直线的距离公式;掌握利用方程组的方法来求直线的交点;具有用坐标法研究点与圆的位置关系的基础;具有一定的数形结合解题思想的`基础。

三、教学目标

(一)知识与技能目标

能够准确用图形表示出直线与圆的三种位置关系;可以利用联立方程的方法和求点到直线的距离的方法简单判断出直线与圆的关系。

(二)过程与方法目标

经历操作、观察、探索、总结直线与圆的位置关系的判断方法，从而锻炼观察、比较、概括的逻辑思维能力。

(三)情感态度价值观目标

激发求知欲和学习兴趣，锻炼积极探索、发现新知识、总结规律的能力，解题时养成归纳总结的良好习惯。

四、教学重难点

(一)重点

用解析法研究直线与圆的位置关系。

(二)难点

体会用解析法解决问题的数学思想。

五、教学方法

根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，借助信息技术工具，以几何画板为平台，通过图形的动态演示，变抽象为直观，为学生的数学探究与数学思维提供支持.在教学中采用小组合作学习的方式，这样可以为不同认知基础的学生提供学习机会，同时有利于发挥各层次学生的作用，教师始终坚持启发式教学原则，设计一系列问题串，以引导学生的数学思维活动。

六、教学过程

(一)导入新课

教师借助多媒体创设泰坦尼克号的情景，并从中抽象出数学模型：已知冰山的分布是一个半径为r的圆形区域，圆心位于轮船正西的l处，问，轮船如何航行能够避免撞到冰山呢?如何行驶便又会撞到冰山呢?

教师引导学生回顾初中已经学习的直线与圆的位置关系，将所想到的航行路线转化成数学简图，即相交、相切、相离。

设计意图：在已有的知识基础上，提出新的问题，有利于保持学生知识结构的连续性，同时开阔视野，激发学生的学习兴趣。

(二)新课教学——探究新知

教师提问如何判断直线与圆的位置关系，学生先独立思考几分钟，然后同桌两人为一组交流，并整理出本组同学所想到的思路。在整个交流讨论中，教师既要有对正确认识的赞赏，又要有对错误见解的分析及对该学生的鼓励。

判断方法：

(1)定义法：看直线与圆公共点个数

即研究方程组解的个数，具体做法是联立两个方程，消去x(或y)后所得一元二次方程，判断△和0的大小关系。

(2)比较法：圆心到直线的距离d与圆的半径r做比较，

(三)合作探究——深化新知

教师进一步抛出疑问，对比两种方法，由学生观察实践发现，两种方法本质相同，但比较法只适合于直线与圆，而定义法适用范围更广。教师展示较为基础的题目，学生解答，总结思路。

已知直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=1,判断它们的位置关系?

让学生自主探索,讨论交流，并阐述自己的解题思路。

当已知了直线与圆的方程之后，圆心坐标和半径r易得到，问题的关键是如何得到圆心到直线的距离d，他的本质是点到直线的距离，便可以直接利用点到直线的距离公式求d。类比前面所学利用直线方程求两直线交点的方法，联立直线与圆的方程，组成方程组，通过方程组解得个数确定直线与圆的交点个数，进一步确定他们的位置关系。最后明确解题步骤。

(四)归纳总结——巩固新知

为了将结论由特殊推广到一般引导学生思考：

可由方程组的解的不同情况来判断：

当方程组有两组实数解时，直线l与圆C相交;

当方程组有一组实数解时，直线l与圆C相切;

当方程组没有实数解时，直线l与圆C相离。

活动：我将抽取两位同学在黑板上扮演，并在巡视过程中对部分学生加以指导。最后对黑板上的两名学生的解题过程加以分析完善。通过对基础题的练习，巩固两种判断直线与圆的位置关系判断方法，并使每一个学生获得后续学习的信心。

(五)小结作业

在小结环节，我会以口头提问的方式：

(1)这节课学习的主要内容是什么?

(2)在数学问题的解决过程中运用了哪些数学思想?

设计意图：启发式的课堂小结方式能让学生主动回顾本节课所学的知识点。也促使学生对知识网络进行主动建构。

作业：在学生回顾本堂学习内容明确两种解题思路后，教师让学生对比两种解法，那种更简捷，明确本节课主要用比较d与r的关系来解决这类问题，对用方程组解的个数的判断方法，要求学生课外做进一步的探究，下一节课汇报。

七、板书设计

我的板书本着简介、直观、清晰的原则，这就是我的板书设计。

高中数学教学方案设计模板 篇6

整体设计

教学分析

我们在初中的学习过程中，已了解了整数指数幂的概念和运算性质。从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n次方根的定义，从而把指数推广到分数指数。进而推广到有理数指数，再推广到实数指数，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂。

教材为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景，先给出两个具体例子：GDP的增长问题和碳14的衰减问题。前一个问题，既让学生回顾了初中学过的整数指数幂，也让学生感受到其中的函数模型，并且还有思想教育价值。后一个问题让学生体会其中的函数模型的同时，激发学生探究分数指数幂、无理数指数幂的兴趣与欲望，为新知识的学习作了铺垫。

本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想（指数幂运算律的推广）、类比的思想、逼近的思想（有理数指数幂逼近无理数指数幂）、数形结合的思想（用指数函数的图象研究指数函数的性质）等，同时，充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值。

根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设教学情境，为学生的数学探究与数学思维提供支持。

三维目标

1、通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质。掌握分数指数幂和根式之间的互化，掌握分数指数幂的运算性质。培养学生观察分析、抽象类比的能力。

2、掌握根式与分数指数幂的互化，渗透“转化”的数学思想。通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯，让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理。

3、能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简、求值，培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力。

4、通过训练及点评，让学生更能熟练掌握指数幂的运算性质。展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质，让学生体验数学的简洁美和统一美。

重点难点

教学重点

（1）分数指数幂和根式概念的理解。

（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质。

（3）运用有理指数幂的性质进行化简、求值。

教学难点

（1）分数指数幂及根式概念的理解。

（2）有理指数幂性质的灵活应用。

课时安排

3课时

教学过程

第1课时

作者：路致芳

导入新课

思路1.同学们在预习的过程中能否知道考古学家如何判断生物的发展与进化，又怎样判断它们所处的年代？（考古学家是通过对生物化石的研究来判断生物的发展与进化的，第二个问题我们不太清楚）考古学家是按照这样一条规律推测生物所处的年代的。教师板书本节课题：指数函数——指数与指数幂的运算。

思路2.同学们，我们在初中学习了平方根、立方根，那么有没有四次方根、五次方根…n次方根呢？答案是肯定的，这就是我们本堂课研究的课题：指数函数——指数与指数幂的运算。

推进新课

新知探究

提出问题

（1）什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？

（2）如x4=a，x5=a，x6=a，根据上面的结论我们又能得到什么呢？

（3）根据上面的结论我们能得到一般性的结论吗？

（4）可否用一个式子表达呢？

活动：教师提示，引导学生回忆初中的时候已经学过的平方根、立方根是如何定义的，对照类比平方根、立方根的定义解释上面的式子，对问题(2)的结论进行引申、推广，相互交流讨论后回答，教师及时启发学生，具体问题一般化，归纳类比出n次方根的概念，评价学生的思维。

讨论结果：(1)若x2=a，则x叫做a的平方根，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如：4的平方根为±2，负数没有平方根，同理，若x3=a，则x叫做a的立方根，一个数的立方根只有一个，如：-8的立方根为-2.

（2）类比平方根、立方根的定义，一个数的四次方等于a，则这个数叫a的四次方根。一个数的五次方等于a，则这个数叫a的五次方根。一个数的六次方等于a，则这个数叫a的六次方根。

（3）类比(2)得到一个数的n次方等于a，则这个数叫a的n次方根。

（4）用一个式子表达是，若xn=a，则x叫a的n次方根。

教师板书n次方根的意义：

一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根(n th root)，其中n>1且n∈正整数集。

可以看出数的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例。

提出问题

（1）你能根据n次方根的意义求出下列数的n次方根吗？（多媒体显示以下题目）。

①4的平方根；②±8的立方根；③16的4次方根；④32的5次方根；⑤-32的5次方根；⑥0的7次方根；⑦a6的立方根。

（2）平方根，立方根，4次方根，5次方根，7次方根，分别对应的方根的指数是什么数，有什么特点？4，±8，16，-32，32，0，a6分别对应什么性质的数，有什么特点？

（3）问题(2)中，既然方根有奇次的也有偶次的，数a有正有负，还有零，结论有一个的，也有两个的，你能否总结一般规律呢？

（4）任何一个数a的偶次方根是否存在呢？

活动：教师提示学生切实紧扣n次方根的概念，求一个数a的n次方根，就是求出的那个数的n次方等于a，及时点拨学生，从数的分类考虑，可以把具体的数写出来，观察数的特点，对问题(2)中的结论，类比推广引申，考虑要全面，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路。

讨论结果：(1)因为±2的平方等于4，±2的立方等于±8，±2的4次方等于16,2的5次方等于32，-2的5次方等于-32,0的7次方等于0，a2的立方等于a6，所以4的平方根，±8的立方根，16的4次方根，32的5次方根，-32的5次方根，0的7次方根，a6的立方根分别是±2，±2，±2,2，-2,0，a2.

（2）方根的指数是2,3,4,5,7…特点是有奇数和偶数。总的来看，这些数包括正数，负数和零。

（3）一个数a的奇次方根只有一个，一个正数a的偶次方根有两个，是互为相反数。0的任何次方根都是0.

（4）任何一个数a的偶次方根不一定存在，如负数的偶次方根就不存在，因为没有一个数的偶次方是一个负数。

类比前面的平方根、立方根，结合刚才的讨论，归纳出一般情形，得到n次方根的性质：

①当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，是互为相反数，正的n次方根用na表示，如果是负数，负的n次方根用-na表示，正的n次方根与负的n次方根合并写成±na(a>0)。

②n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用符号na表示。

③负数没有偶次方根；0的任何次方根都是零。

上面的文字语言可用下面的式子表示：

a为正数：n为奇数，a的n次方根有一个为na，n为偶数，a的n次方根有两个为±na.

a为负数：n为奇数，a的n次方根只有一个为na，n为偶数，a的n次方根不存在。

零的n次方根为零，记为n0=0.

可以看出数的平方根、立方根的性质是n次方根的性质的特例。

思考

根据n次方根的性质能否举例说明上述几种情况？

活动：教师提示学生对方根的性质要分类掌握，即正数的奇偶次方根，负数的奇次方根，零的任何次方根，这样才不重不漏，同时巡视学生，随机给出一个数，我们写出它的平方根，立方根，四次方根等，看是否有意义，注意观察方根的形式，及时纠正学生在举例过程中的问题。

解：答案不，比如，64的立方根是4,16的'四次方根为±2，-27的5次方根为5-27，而-27的4次方根不存在等。其中5-27也表示方根，它类似于na的形式，现在我们给式子na一个名称——根式。

根式的概念：

式子na叫做根式，其中a叫做被开方数，n叫做根指数。

如3-27中，3叫根指数，-27叫被开方数。

思考

nan表示an的n次方根，式子nan=a一定成立吗？如果不一定成立，那么nan等于什么？

活动：教师让学生注意讨论n为奇偶数和a的符号，充分让学生多举实例，分组讨论。教师点拨，注意归纳整理。

〔如3(-3)3=3-27=-3，4(-8)4=|-8|=8〕。

解答：根据n次方根的意义，可得：(na)n=a.

通过探究得到：n为奇数，nan=a.

n为偶数，nan=|a|=a，-a，a≥0，a

因此我们得到n次方根的运算性质：

①(na)n=a.先开方，再乘方（同次），结果为被开方数。

②n为奇数，nan=a.先奇次乘方，再开方（同次），结果为被开方数。

n为偶数，nan=|a|=a，-a，a≥0，a

应用示例

思路1

例求下列各式的值：

（1)3(-8)3;(2)(-10)2;(3)4(3-π）4;(4)(a-b)2(a>b)。

活动：求某些式子的值，首先考虑的应是什么，明确题目的要求是什么，都用到哪些知识，关键是啥，搞清这些之后，再针对每一个题目仔细分析。观察学生的解题情况，让学生展示结果，抓住学生在解题过程中出现的问题并对症下药。求下列各式的值实际上是求数的方根，可按方根的运算性质来解，首先要搞清楚运算顺序，目的是把被开方数的符号定准，然后看根指数是奇数还是偶数，如果是奇数，无需考虑符号，如果是偶数，开方的结果必须是非负数。

解：(1)3(-8)3=-8;

（2）(-10)2=10;

（3)4(3-π）4=π-3;

（4）(a-b)2=a-b(a>b)。

点评：不注意n的奇偶性对式子nan的值的影响，是导致问题出现的一个重要原因，要在理解的基础上，记准，记熟，会用，活用。

变式训练

求出下列各式的值：

(1)7(-2)7;

(2)3(3a-3)3(a≤1)；

(3)4(3a-3)4.

解：(1)7(-2)7=-2，

(2)3(3a-3)3(a≤1)=3a-3，

(3)4(3a-3)4=

点评：本题易错的是第(3)题，往往忽视a与1大小的讨论，造成错解。

思路2

例1下列各式中正确的是（）

A.4a4=a

B.6(-2)2=3-2

C.a0=1

D.10(2-1)5=2-1

活动：教师提示，这是一道选择题，本题考查n次方根的运算性质，应首先考虑根据方根的意义和运算性质来解，既要考虑被开方数，又要考虑根指数，严格按求方根的步骤，体会方根运算的实质，学生先思考哪些地方容易出错，再回答。

解析：(1)4a4=a，考查n次方根的运算性质，当n为偶数时，应先写nan=|a|，故A项错。

(2)6(-2)2=3-2，本质上与上题相同，是一个正数的偶次方根，根据运算顺序也应如此，结论为6(-2)2=32，故B项错。

(3)a0=1是有条件的，即a≠0，故C项也错。

(4)D项是一个正数的偶次方根，根据运算顺序也应如此，故D项正确。所以答案选D.

答案：D

点评：本题由于考查n次方根的运算性质与运算顺序，有时极易选错，选四个答案的情况都会有，因此解题时千万要细心。

例2 3+22+3-22=__________.

活动：让同学们积极思考，交流讨论，本题乍一看内容与本节无关，但仔细一想，我们学习的内容是方根，这里是带有双重根号的式子，去掉一层根号，根据方根的运算求出结果是解题的关键，因此将根号下面的式子化成一个完全平方式就更为关键了，从何处入手？需利用和的平方公式与差的平方公式化为完全平方式。正确分析题意是关键，教师提示，引导学生解题的思路。

解析：因为3+22=1+22+(2)2=(1+2)2=2+1，

3-22=(2)2-22+1=(2-1)2=2-1，

所以3+22+3-22=22.

答案：22

点评：不难看出3-22与3+22形式上有些特点，即是对称根式，是A±2B形式的式子，我们总能找到办法把其化成一个完全平方式。

思考

上面的例2还有别的解法吗？

活动：教师引导，去根号常常利用完全平方公式，有时平方差公式也可，同学们观察两个式子的特点，具有对称性，再考虑并交流讨论，一个是“+”，一个是“-”，去掉一层根号后，相加正好抵消。同时借助平方差，又可去掉根号，因此把两个式子的和看成一个整体，两边平方即可，探讨得另一种解法。

另解：利用整体思想，x=3+22+3-22，

两边平方，得x2=3+22+3-22+2(3+22)(3-22)=6+232-(22)2=6+2=8，所以x=22.

点评：对双重二次根式，特别是A±2B形式的式子，我们总能找到办法将根号下面的式子化成一个完全平方式，问题迎刃而解，另外对A+2B±A-2B的式子，我们可以把它们看成一个整体利用完全平方公式和平方差公式去解。

变式训练

若a2-2a+1=a-1，求a的取值范围。

解：因为a2-2a+1=a-1，而a2-2a+1=(a-1)2=|a-1|=a-1，

即a-1≥0，

所以a≥1.

点评：利用方根的运算性质转化为去绝对值符号，是解题的关键。

知能训练

（教师用多媒体显示在屏幕上）

1、以下说法正确的是（）

A.正数的n次方根是一个正数

B.负数的n次方根是一个负数

C.0的n次方根是零

D.a的n次方根用na表示（以上n>1且n∈正整数集）

答案：C

2、化简下列各式：

(1)664;(2)4(-3)2;(3)4x8;(4)6x6y3;(5)(x-y)2.

答案：(1)2;(2)3;(3)x2;(4)|x|y;(5)|x-y|。

3、计算7+40+7-40=__________.

解析：7+40+7-40

=(5)2+25?2+(2)2+(5)2-25?2+(2)2

=(5+2)2+(5-2)2

=5+2+5-2

=25.

答案：25

拓展提升

问题：nan=a与(na)n=a(n>1，n∈N)哪一个是恒等式，为什么？请举例说明。

活动：组织学生结合前面的例题及其解答，进行分析讨论，解决这一问题要紧扣n次方根的定义。

通过归纳，得出问题结果，对a是正数和零，n为偶数时，n为奇数时讨论一下。再对a是负数，n为偶数时，n为奇数时讨论一下，就可得到相应的结论。

解：(1)(na)n=a(n>1，n∈N)。

如果xn=a(n>1，且n∈N)有意义，则无论n是奇数或偶数，x=na一定是它的一个n次方根，所以(na)n=a恒成立。

例如：(43)4=3，(3-5)3=-5.

(2)nan=a，|a|，当n为奇数，当n为偶数。

当n为奇数时，a∈R，nan=a恒成立。

例如：525=2，5(-2)5=-2.

当n为偶数时，a∈R，an≥0，nan表示正的n次方根或0，所以如果a≥0，那么nan=a.例如434=3，40=0;如果a

即(na)n=a(n>1，n∈N)是恒等式，nan=a(n>1，n∈N)是有条件的。

点评：实质上是对n次方根的概念、性质以及运算性质的深刻理解。

课堂小结

学生仔细交流讨论后，在笔记上写出本节课的学习收获，教师用多媒体显示在屏幕上。

1、如果xn=a，那么x叫a的n次方根，其中n>1且n∈正整数集。用式子na表示，式子na叫根式，其中a叫被开方数，n叫根指数。

（1）当n为偶数时，a的n次方根有两个，是互为相反数，正的n次方根用na表示，如果是负数，负的n次方根用-na表示，正的n次方根与负的n次方根合并写成±na(a>0)。

(2)n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用符号na表示。

（3）负数没有偶次方根。0的任何次方根都是零。

2、掌握两个公式：n为奇数时，(na)n=a，n为偶数时，nan=|a|=a，-a，a≥0，a

作业

课本习题2.1A组1.

补充作业：

1、化简下列各式：

(1)681;(2)15-32;(3)6a2b4.

解：(1)681=634=332=39;

(2)15-32=-1525=-32;

(3)6a2b4=6（|a|？b2）2=3|a|？b2.

2、若5

解析：因为5

答案：2a-13

3.5+26+5-26=__________.

解析：对双重二次根式，我们觉得难以下笔，我们考虑只有在开方的前提下才可能解出，由此提示我们想办法去掉一层根式，

不难看出5+26=(3+2)2=3+2.

同理5-26=(3-2)2=3-2.

所以5+26+5-26=23.

答案：23

设计感想

学生已经学习了数的平方根和立方根，根式的内容是这些内容的推广，本节课由于方根和根式的概念和性质难以理解，在引入根式的概念时，要结合已学内容，列举具体实例，根式na的讲解要分n是奇数和偶数两种情况来进行，每种情况又分a>0，a

第2课时

作者：郝云静

导入新课

思路1.碳14测年法。原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳14，并与氧结合成二氧化碳后进入所有活组织，先为植物吸收，再为动物吸收，只要植物和动物生存着，它们就会不断地吸收碳14在机体内保持一定的水平。而当有机体死亡后，即会停止吸收碳14，其组织内的碳14便以约5 730年的半衰期开始衰变并消失。对于任何含碳物质只要测定剩下的放射性碳14的含量，便可推断其年代（半衰期：经过一定的时间，变为原来的一半）。引出本节课题：指数与指数幂的运算之分数指数幂。

思路2.同学们，我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质，那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯定的。这就是本节的主讲内容，教师板书本节课题——指数与指数幂的运算之分数指数幂。

推进新课

新知探究

提出问题

（1）整数指数幂的运算性质是什么？

（2）观察以下式子，并总结出规律：a>0，

①；

②a8=(a4)2=a4=，；

③4a12=4(a3)4=a3=；

④2a10=2(a5)2=a5= 。

（3）利用(2)的规律，你能表示下列式子吗？

，，，(x>0，m，n∈正整数集，且n>1)。

（4）你能用方根的意义来解释(3)的式子吗？

（5）你能推广到一般的情形吗？

活动：学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质，仔细观察，特别是每题的开始和最后两步的指数之间的关系，教师引导学生体会方根的意义，用方根的意义加以解释，指点启发学生类比(2)的规律表示，借鉴(2)(3)，我们把具体推广到一般，对写正确的同学及时表扬，其他学生鼓励提示。

讨论结果：(1)整数指数幂的运算性质：an=a?a?a?…？a，a0=1(a≠0)；00无意义；

a-n=1an(a≠0)；am?an=am+n;(am)n=amn;(an)m=amn;(ab)n=anbn.

（2）①a2是a10的5次方根；②a4是a8的2次方根；③a3是a12的4次方根；④a5是a10的2次方根。实质上①5a10=，②a8=，③4a12=，④2a10=结果的a的指数是2,4,3,5分别写成了105，82，124，105，形式上变了，本质没变。

根据4个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式（分数指数幂形式）。

（3）利用(2)的规律，453=，375=，5a7=，nxm= 。

(4)53的四次方根是，75的三次方根是，a7的五次方根是，xm的n次方根是。

结果表明方根的结果和分数指数幂是相通的。

（5）如果a>0，那么am的n次方根可表示为nam=，即=nam(a>0，m，n∈正整数集，n>1)。

综上所述，我们得到正数的正分数指数幂的意义，教师板书：

规定：正数的正分数指数幂的意义是=nam(a>0，m，n∈正整数集，n>1)。

提出问题

（1）负整数指数幂的意义是怎样规定的？

（2）你能得出负分数指数幂的意义吗？

（3）你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义？

（4）综合上述，如何规定分数指数幂的意义？

（5）分数指数幂的意义中，为什么规定a>0，去掉这个规定会产生什么样的后果？

（6）既然指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢？

活动：学生回想初中学习的情形，结合自己的学习体会回答，根据零的整数指数幂的意义和负整数指数幂的意义来类比，把正分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义融合起来，与整数指数幂的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质，教师在黑板上板书，学生合作交流，以具体的实例说明a>0的必要性，教师及时作出评价。

讨论结果：(1)负整数指数幂的意义是：a-n=1an(a≠0)，n∈N+。

（2）既然负整数指数幂的意义是这样规定的，类比正数的正分数指数幂的意义可得正数的负分数指数幂的意义。

规定：正数的负分数指数幂的意义是= =1nam(a>0，m，n∈=N+，n>1)。

（3）规定：零的分数指数幂的意义是：零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义。

（4）教师板书分数指数幂的意义。分数指数幂的意义就是：

正数的正分数指数幂的意义是=nam(a>0，m，n∈正整数集，n>1)，正数的负分数指数幂的意义是= =1nam(a>0，m，n∈正整数集，n>1)，零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义。

（5）若没有a>0这个条件会怎样呢？

如=3-1=-1，=6(-1)2=1具有同样意义的两个式子出现了截然不同的结果，这只说明分数指数幂在底数小于零时是无意义的。因此在把根式化成分数指数时，切记要使底数大于零，如无a>0的条件，比如式子3a2=，同时负数开奇次方是有意义的，负数开奇次方时，应把负号移到根式的外边，然后再按规定化成分数指数幂，也就是说，负分数指数幂在有意义的情况下总表示正数，而不是负数，负数只是出现在指数上。

（6）规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数。

有理数指数幂的运算性质：对任意的有理数r，s，均有下面的运算性质：

①ar?as=ar+s(a>0，r，s∈Q)，

②(ar)s=ars(a>0，r，s∈Q)，

③(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈Q)。

我们利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质可以解决一些问题，来看下面的例题。

应用示例

例1求值：(1)；(2)；(3)12-5;(4) 。

活动：教师引导学生考虑解题的方法，利用幂的运算性质计算出数值或化成最简根式，根据题目要求，把底数写成幂的形式，8写成23,25写成52，12写成2-1，1681写成234，利用有理数幂的运算性质可以解答，完成后，把自己的答案用投影仪展示出来。

解：(1) =22=4;

（2）=5-1=15;

(3)12-5=(2-1)-5=2-1×(-5)=32;

（4）=23-3=278.

点评：本例主要考查幂值运算，要按规定来解。在进行幂值运算时，要首先考虑转化为指数运算，而不是首先转化为熟悉的根式运算，如=382=364=4.

例2用分数指数幂的形式表示下列各式。

a3?a;a2?3a2;a3a(a>0)。

活动：学生观察、思考，根据解题的顺序，把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算，根式化为分数指数幂时，要由里往外依次进行，把握好运算性质和顺序，学生讨论交流自己的解题步骤，教师评价学生的解题情况，鼓励学生注意总结。

解：a3?a=a3? =；

a2?3a2=a2? =；

a3a= 。

点评：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算。对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式来表示，但结果不能既有分数指数又有根式，也不能既有分母又有负指数。

例3计算下列各式（式中字母都是正数）。

（1）；

（2）。

活动：先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析，四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的，整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序，再解答，把自己的答案用投影仪展示出来，相互交流，其中要注意到(1)小题是单项式的乘除运算，可以用单项式的乘除法运算顺序进行，要注意符号，第(2)小题是乘方运算，可先按积的乘方计算，再按幂的乘方进行计算，熟悉后可以简化步骤。

解：(1)原式=[2×(-6)÷(-3)] =4ab0=4a;

（2）=m2n-3=m2n3.

点评：分数指数幂不表示相同因式的积，而是根式的另一种写法。有了分数指数幂，就可把根式转化成分数指数幂的形式，用分数指数幂的运算法则进行运算了。

本例主要是指数幂的运算法则的综合考查和应用。

变式训练

求值：(1)33?33?63;

(2)627m3125n64.

解：(1)33?33?63= =32=9;

(2)627m3125n64= =9m225n4=925m2n-4.

例4计算下列各式：

（1）(325-125)÷425;

(2)a2a?3a2(a>0)。

活动：先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析，化为同底。利用分数指数幂计算，在第(1)小题中，只含有根式，且不是同次根式，比较难计算，但把根式先化为分数指数幂再计算，这样就简便多了，第(2)小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算，最后写出解答。

解：(1)原式=

= =65-5;

(2)a2a?3a2= =6a5.

知能训练

课本本节练习1,2,3

【补充练习】

教师用实物投影仪把题目投射到屏幕上让学生解答，教师巡视，启发，对做得好的同学给予表扬鼓励。

1、(1)下列运算中，正确的是（）

A.a2?a3=a6 B.(-a2)3=(-a3)2

C.(a-1)0=0 D.(-a2)3=-a6

（2）下列各式①4(-4)2n，②4(-4)2n+1，③5a4，④4a5（各式的n∈N，a∈R）中，有意义的是（）

A.①② B.①③ C.①②③④ D.①③④

（3）(34a6)2?(43a6)2等于（）

A.a B.a2 C.a3 D.a4

（4）把根式-25(a-b)-2改写成分数指数幂的形式为（）

A. B.

C. D.

（5）化简的结果是（）

A.6a B.-a C.-9a D.9a

2、计算：(1) --17-2+ -3-1+(2-1)0=__________.

（2）设5x=4,5y=2，则52x-y=__________.

3、已知x+y=12，xy=9且x答案：1.(1)D　(2)B　(3)B　(4)A　(5)C　2.(1)19　(2)83、解：。因为x+y=12，xy=9，所以(x-y)2=(x+y)2-4xy=144-36=108=4×27.又因为x所以原式= =12-6-63=-33.拓展提升1、化简：。活动：学生观察式子特点，考虑x的指数之间的关系可以得到解题思路，应对原式进行因式分解，根据本题的特点，注意到：x-1= -13=；x+1= +13=；。构建解题思路教师适时启发提示。解：==== 。点拨：解这类题目，要注意运用以下公式，=a-b，=a± +b，=a±b.2、已知，探究下列各式的值的求法。(1)a+a-1;(2)a2+a-2;(3) 。解：(1)将，两边平方，得a+a-1+2=9，即a+a-1=7;（2）将a+a-1=7两边平方，得a2+a-2+2=49，即a2+ a-2=47;（3）由于，所以有=a+a-1+1=8.点拨：对“条件求值”问题，一定要弄清已知与未知的联系，然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值。课堂小结活动：教师，本节课同学们有哪些收获？请把你的学习收获记录在你的笔记本上，同学们之间相互交流。同时教师用投影仪显示本堂课的知识要点：（1）分数指数幂的意义就是：正数的正分数指数幂的意义是=nam(a>0，m，n∈正整数集，n>1)，正数的负分数指数幂的意义是= =1nam(a>0，m，n∈正整数集，n>1)，零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义。（2）规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数。（3）有理数指数幂的运算性质：对任意的有理数r，s，均有下面的运算性质：①ar?as=ar+s(a>0，r，s∈Q)，②(ar)s=ars(a>0，r，s∈Q)，③(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈Q)。（4）说明两点：①分数指数幂的意义是一种规定，我们前面所举的例子只表明这种规定的合理性，其中没有推出关系。②整数指数幂的运算性质对任意的有理数指数幂也同样适用。因而分数指数幂与根式可以互化，也可以利用=am来计算。作业课本习题2.1A组2,4.设计感想本节课是分数指数幂的意义的引出及应用，分数指数是指数概念的又一次扩充，要让学生反复理解分数指数幂的意义，教学中可以通过根式与分数指数幂的互化来巩固加深对这一概念的理解，用观察、归纳和类比的方法完成，由于是硬性的规定，没有合理的解释，因此多安排一些练习，强化训练，巩固知识，要辅助以信息技术的手段来完成大容量的课堂教学任务。第3课时作者：郑芳鸣导入新课思路1.同学们，既然我们把指数从正整数推广到整数，又从整数推广到正分数到负分数，这样指数就推广到有理数，那么它是否也和数的推广一样，到底有没有无理数指数幂呢？回顾数的扩充过程，自然数到整数，整数到分数（有理数），有理数到实数。并且知道，在有理数到实数的扩充过程中，增添的数是无理数。对无理数指数幂，也是这样扩充而来。既然如此，我们这节课的主要内容是：教师板书本堂课的课题〔指数与指数幂的运算(3)〕之无理数指数幂。思路2.同学们，在初中我们学习了函数的知识，对函数有了一个初步的了解，到了高中，我们又对函数的概念进行了进一步的学习，有了更深的理解，我们仅仅学了几种简单的函数，如一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数、三角函数等，这些远远不能满足我们的需要，随着科学的发展，社会的进步，我们还要学习许多函数，其中就有指数函数，为了学习指数函数的知识，我们必须学习实数指数幂的运算性质，为此，我们必须把指数幂从有理数指数幂扩充到实数指数幂，因此我们本节课学习：指数与指数幂的运算(3)之无理数指数幂，教师板书本节课的课题。推进新课新知探究提出问题（1）我们知道2=1.414 213 56…，那么1.41,1.414,1.414 2,1.414 21，…，是2的什么近似值？而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22，…，是2的什么近似值？（2）多媒体显示以下图表：同学们从上面的两个表中，能发现什么样的规律？2的过剩近似值的近似值1.5 11.180 339 891.42 9.829 635 3281.415 9.750 851 8081.414 3 9.739 872 621.414 22 9.738 618 6431.414 214 9.738 524 6021.414 213 6 9.738 518 3321.414 213 57 9.738 517 8621.414 213 563 9.738 517 752… …的近似值2的不足近似值9.518 269 694 1.49.672 669 973 1.419.735 171 039 1.4149.738 305 174 1.414 29.738 461 907 1.414 219.738 508 928 1.414 2139.738 516 765 1.414 213 59.738 517 705 1.414 213 569.738 517 736 1.414 213 562… …（3）你能给上述思想起个名字吗？（4）一个正数的无理数次幂到底是一个什么性质的数呢？如，根据你学过的知识，能作出判断并合理地解释吗？（5）借助上面的结论你能说出一般性的结论吗？活动：教师引导，学生回忆，教师提问，学生回答，积极交流，及时评价学生，学生有困惑时加以解释，可用多媒体显示辅助内容：问题(1)从近似值的分类来考虑，一方面从大于2的方向，另一方面从小于2的方向。问题(2)对图表的观察一方面从上往下看，再一方面从左向右看，注意其关联。问题(3)上述方法实际上是无限接近，最后是逼近。问题(4)对问题给予大胆猜测，从数轴的观点加以解释。问题(5)在(3)(4)的基础上，推广到一般的情形，即由特殊到一般。讨论结果：(1)1.41,1.414,1.414 2,1.414 21，…这些数都小于2，称2的不足近似值，而1.42，1.415,1.414 3,1.414 22，…，这些数都大于2，称2的过剩近似值。（2）第一个表：从大于2的方向逼近2时，就从51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，即大于的方向逼近。第二个表：从小于2的方向逼近2时，就从51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，即小于的方向逼近。从另一角度来看这个问题，在数轴上近似地表示这些点，数轴上的数字表明一方面从51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，即小于的方向接近，而另一方面从51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，即大于的方向接近，可以说从两个方向无限地接近，即逼近，所以是一串有理数指数幂51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，和另一串有理数指数幂51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，按上述变化规律变化的结果，事实上表示这些数的点从两个方向向表示的点靠近，但这个点一定在数轴上，由此我们可得到的结论是一定是一个实数，即51.4充分表明是一个实数。（3）逼近思想，事实上里面含有极限的思想，这是以后要学的知识。（4）根据(2)(3)我们可以推断是一个实数，猜测一个正数的无理数次幂是一个实数。（5）无理数指数幂的意义：一般地，无理数指数幂aα（a>0，α是无理数）是一个确定的实数。也就是说无理数可以作为指数，并且它的结果是一个实数，这样指数概念又一次得到推广，在数的扩充过程中，我们知道有理数和无理数统称为实数。我们规定了无理数指数幂的意义，知道它是一个确定的实数，结合前面的有理数指数幂，那么，指数幂就从有理数指数幂扩充到实数指数幂。提出问题（1）为什么在规定无理数指数幂的意义时，必须规定底数是正数？（2）无理数指数幂的运算法则是怎样的？是否与有理数指数幂的运算法则相通呢？（3）你能给出实数指数幂的运算法则吗？活动：教师组织学生互助合作，交流探讨，引导他们用反例说明问题，注意类比，归纳。对问题(1)回顾我们学习分数指数幂的意义时对底数的规定，举例说明。对问题（2)结合有理数指数幂的运算法则，既然无理数指数幂aα(a>0，α是无理数）是一个确定的实数，那么无理数指数幂的运算法则应当与有理数指数幂的运算法则类似，并且相通。对问题(3)有了有理数指数幂的运算法则和无理数指数幂的运算法则，实数的运算法则自然就得到了。讨论结果：(1)底数大于零的必要性，若a=-1，那么aα是+1还是-1就无法确定了，这样就造成混乱，规定了底数是正数后，无理数指数幂aα是一个确定的实数，就不会再造成混乱。（2）因为无理数指数幂是一个确定的实数，所以能进行指数的运算，也能进行幂的运算，有理数指数幂的运算性质，同样也适用于无理数指数幂。类比有理数指数幂的运算性质可以得到无理数指数幂的运算法则：①ar?as=ar+s（a>0，r，s都是无理数）。②（ar)s=ars(a>0，r，s都是无理数）。③（a?b)r=arbr(a>0，b>0，r是无理数）。（3）指数幂扩充到实数后，指数幂的运算性质也就推广到了实数指数幂。实数指数幂的运算性质：对任意的实数r，s，均有下面的运算性质：①ar?as=ar+s(a>0，r，s∈R)。②(ar)s=ars(a>0，r，s∈R)。③(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈R)。应用示例例1利用函数计算器计算。（精确到0.001）(1)0.32.1;(2)3.14-3;(3)；(4) 。活动：教师教会学生利用函数计算器计算，熟悉计算器的各键的功能，正确输入各类数，算出数值，对于(1)，可先按底数0.3，再按xy键，再按幂指数2.1，最后按=，即可求得它的值；对于(2)，先按底数3.14，再按xy键，再按负号-键，再按3，最后按=即可；对于(3)，先按底数3.1，再按xy键，再按3÷4，最后按=即可；对于(4)，这种无理指数幂，可先按底数3，其次按xy键，再按键，再按3，最后按=键。有时也可按2ndf或shift键，使用键上面的功能去运算。学生可以相互交流，挖掘计算器的用途。解：(1)0.32.1≈0.080;(2)3.14-3≈0.032;(3) ≈2.336;(4) ≈6.705.点评：熟练掌握用计算器计算幂的值的方法与步骤，感受现代技术的威力，逐步把自己融入现代信息社会；用四舍五入法求近似值，若保留小数点后n位，只需看第(n+1)位能否进位即可。例2求值或化简。(1)a-4b23ab2(a>0，b>0)；（2）(a>0，b>0)；(3)5-26+7-43-6-42.活动：学生观察，思考，所谓化简，即若能化为常数则化为常数，若不能化为常数则应使所化式子达到最简，对既有分数指数幂又有根式的式子，应该把根式统一化为分数指数幂的形式，便于运算，教师有针对性地提示引导，对(1)由里向外把根式化成分数指数幂，要紧扣分数指数幂的意义和运算性质，对(2)既有分数指数幂又有根式，应当统一起来，化为分数指数幂，对(3)有多重根号的式子，应先去根号，这里是二次根式，被开方数应凑完全平方，这样，把5,7,6拆成(3)2+(2)2,22+(3)2,22+(2)2，并对学生作及时的评价，注意总结解题的方法和规律。解：(1)a-4b23ab2= =3b46a11 。点评：根式的运算常常化成幂的运算进行，计算结果如没有特殊要求，就用根式的形式来表示。高中数学教学方案设计模板 篇7高三第一阶段复习，也称“知识篇”。在这一阶段，学生重温高一、高二所学课程，全面复习巩固各个知识点，熟练掌握基本方法和技能；然后站在全局的高度，对学过的知识产生全新认识。在高一、高二时，是以知识点为主线索，依次传授讲解的，由于后面的相关知识还没有学到，不能进行纵向联系，所以，学的知识往往是零碎和散乱，而在第一轮复习时，以章节为单位，将那些零碎的、散乱的知识点串联起来，并将他们系统化、综合化，把各个知识点融会贯通。对于普通高中的学生，第一轮复习更为重要，我们希望能做高考试题中一些基础题目，必须侧重基础，加强复习的针对性，讲求实效。一、内容分析说明1、本小节内容是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的二项式的乘方的展开式，与数学的其他部分有密切的联系：（1）二项展开式与多项式乘法有联系，本小节复习可对多项式的变形起到复习深化作用。（2）二项式定理与概率理论中的二项分布有内在联系，利用二项式定理可得到一些组合数的恒等式，因此，本小节复习可加深知识间纵横联系，形成知识网络。（3）二项式定理是解决某些整除性、近似计算等问题的一种方法。2、高考中二项式定理的试题几乎年年有，多数试题的难度与课本习题相当，是容易题和中等难度的试题，考察的题型稳定，通常以选择题或填空题出现，有时也与应用题结合在一起求某些数、式的近似值。二、学校情况与学生分析（1）我校是一所镇普通高中，学生的基础不好，记忆力较差，反应速度慢，普遍感到数学难学。但大部分学生想考大学，主观上有学好数学的愿望。（2）授课班是政治、地理班，学生听课积极性不高，听课率低（60﹪），注意力不能持久，不能连续从事某项数学活动。课堂上喜欢轻松诙谐的气氛，大部分能机械的模仿，部分学生好记笔记。三、教学目标复习课二项式定理计划安排两个课时，本课是第一课时，主要复习二项展开式和通项。根据历年高考对这部分的考查情况，结合学生的特点，设定如下教学目标：1、知识目标：（1）理解并掌握二项式定理，从项数、指数、系数、通项几个特征熟记它的展开式。（2）会运用展开式的通项公式求展开式的特定项。2、能力目标：（1）教给学生怎样记忆数学公式，如何提高记忆的持久性和准确性，从而优化记忆品质。记忆力是一般数学能力，是其它能力的基础。（2）树立由一般到特殊的解决问题的意识，了解解决问题时运用的数学思想方法。3、情感目标：通过对二项式定理的复习，使学生感觉到能掌握数学的部分内容，树立学好数学的信心。有意识地让学生演练一些历年高考试题，使学生体验到成功，在明年的高考中，他们也能得分。四、教学过程1、知识归纳（1）创设情景：①同学们，还记得吗？ 、 展开式是什么？②学生一起回忆、老师板书。设计意图：①提出比较容易的问题，吸引学生的注意力，组织教学。②为学生能回忆起二项式定理作铺垫：激活记忆，引起联想。（2）二项式定理：①设问 展开式是什么？待学生思考后，老师板书= C an+C an－1b1+…+C an－rbr+…+C bn（n∈N*）②老师要求学生说出二项展开式的`特征并熟记公式：共有 项；各项里a的指数从n起依次减小1，直到0为止；b的指数从0起依次增加1，直到n为止。每一项里a、b的指数和均为n。③巩固练习 填空设计意图：①教给学生记忆的方法，比较分析公式的特点，记规律。②变用公式，熟悉公式。（3） 展开式中各项的系数C , C , C ,… , 称为二项式系数.展开式的通项公式Tr+1=C an－rbr , 其中r= 0,1,2,…n表示展开式中第r+1项.2、例题讲解例1求 的展开式的第4项的二项式系数，并求的第4项的系数。讲解过程设问：这里 ，要求的第4项的有关系数，如何解决？学生思考计算，回答问题；老师指明①当项数是4时， ，此时 ，所以第4项的二项式系数是 ，②第4项的系数与的第4项的二项式系数区别。板书解：展开式的第4项所以第4项的系数为 ，二项式系数为 。选题意图：①利用通项公式求项的系数和二项式系数；②复习指数幂运算。例2 求 的展开式中不含的 项。讲解过程设问：①不含的 项是什么样的项？即这一项具有什么性质？②问题转化为第几项是常数项，谁能看出哪一项是常数项？师生讨论 “看不出哪一项是常数项，怎么办？”共同探讨思路：利用通项公式，列出项数的方程，求出项数。老师总结思路：先设第 项为不含 的项，得 ，利用这一项的指数是零，得到关于 的方程，解出 后，代回通项公式，便可得到常数项。板书解：设展开式的第 项为不含 项，那么令 ，解得 ，所以展开式的第9项是不含的 项。因此 。选题意图：①巩固运用展开式的通项公式求展开式的特定项，形成基本技能。②判断第几项是常数项运用方程的思想；找到这一项的项数后，实现了转化，体现转化的数学思想。例3求 的展开式中， 的系数。解题思路：原式局部展开后，利用加法原理，可得到展开式中的 系数。板书解：由于 ，则 的展开式中 的系数为 的展开式中 的系数之和。而 的展开式含 的项分别是第5项、第4项和第3项，则 的展开式中 的系数分别是： 。所以 的展开式中 的系数为例4 如果在（ + ）n的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的有理项.解：展开式中前三项的系数分别为1， ， ，由题意得2× =1+ ，得n=8.设第r+1项为有理项，T =C · ·x ，则r是4的倍数，所以r=0，4，8.有理项为T1=x4，T5= x，T9= .3、课堂练习1.（20xx年江苏，7）（2x+ ）4的展开式中x3的系数是A.6B.12 C.24 D.48解析：（2x+ ）4=x2（1+2 ）4，在（1+2 ）4中，x的系数为C ·22=24.答案：C2.（20xx年全国Ⅰ，5）（2x3－ ）7的展开式中常数项是A.14 B.14 C.42 D.－42解析：设（2x3－ ）7的展开式中的第r+1项是T =C （2x3） （－ ）r=C 2 ·（－1）r·x ，当－ +3（7－r）=0，即r=6时，它为常数项，∴C （－1）6·21=14.答案：A3.（20xx年湖北，文14）已知（x +x ）n的展开式中各项系数的和是128，则展开式中x5的系数是_____________.（以数字作答）解析：∵（x +x ）n的展开式中各项系数和为128，∴令x=1，即得所有项系数和为2n=128.∴n=7.设该二项展开式中的r+1项为T =C （x ） ·（x ）r=C ·x ，令 =5即r=3时，x5项的系数为C =35.答案：35五、课堂教学设计说明1、这是一堂复习课，通过对例题的研究、讨论，巩固二项式定理通项公式，加深对项的系数、项的二项式系数等有关概念的理解和认识，形成求二项式展开式某些指定项的基本技能，同时，要培养学生的运算能力，逻辑思维能力，强化方程的思想和转化的思想。2、在例题的选配上，我设计了一定梯度。第一层次是给出二项式，求指定的项，即项数已知，只需直接代入通项公式即可（例1）；第二层次（例2）则需要自己创造代入的条件，先判断哪一项为所求，即先求项数，利用通项公式中指数的关系求出，此后转化为第一层次的问题。第三层次突出数学思想的渗透，例3需要变形才能求某一项的系数，恒等变形是实现转化的手段。在求每个局部展开式的某项系数时，又有分类讨论思想的指导。而例4的设计是想增加题目的综合性，求的n过程中，运用等差数列、组合数n等知识，求出后，有化归为前面的问题。六、个人见解高中数学教学方案设计模板 篇8一、教学目标1.知识与技能(1)掌握画三视图的基本技能(2)丰富学生的空间想象力2.过程与方法主要通过学生自己的亲身实践，动手作图，体会三视图的作用。3.情感态度与价值观(1)提高学生空间想象力(2)体会三视图的作用二、教学重点、难点重点：画出简单组合体的三视图难点：识别三视图所表示的空间几何体三、学法与教学用具1.学法：观察、动手实践、讨论、类比2.教学用具：实物模型、三角板四、教学思路(一)创设情景，揭开课题“横看成岭侧看成峰”，这说明从不同的角度看同一物体视觉的效果可能不同，要比较真实反映出物体，我们可从多角度观看物体，这堂课我们主要学习空间几何体的三视图。在初中，我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥、球的三视图(正视图、侧视图、俯视图)，你能画出空间几何体的三视图吗?(二)实践动手作图1.讲台上放球、长方体实物，要求学生画出它们的三视图，教师巡视，学生画完后可交流结果并讨论;2.教师引导学生用类比方法画出简单组合体的三视图(1)画出球放在长方体上的三视图(2)画出矿泉水瓶(实物放在桌面上)的三视图学生画完后，可把自己的作品展示并与同学交流，总结自己的作图心得。作三视图之前应当细心观察，认识了它的基本结构特征后，再动手作图。3.三视图与几何体之间的相互转化。(1)投影出示图片(课本P10，图1.2-3)请同学们思考图中的三视图表示的几何体是什么?(2)你能画出圆台的三视图吗?(3)三视图对于认识空间几何体有何作用?你有何体会?教师巡视指导，解答学生在学习中遇到的困难，然后让学生发表对上述问题的看法。4.请同学们画出1.2-4中其他物体表示的.空间几何体的三视图，并与其他同学交流。(三)巩固练习课本P12练习1、2P18习题1.2A组1(四)归纳整理请学生回顾发表如何作好空间几何体的三视图(五)课外练习1.自己动手制作一个底面是正方形，侧面是全等的三角形的棱锥模型，并画出它的三视图。2.自己制作一个上、下底面都是相似的正三角形，侧面是全等的等腰梯形的棱台模型，并画出它的三视图。高中数学教学方案设计模板 篇9 内容分析：1、 集合是中学数学的一个重要的基本概念在小学数学中，就渗透了集合的初步概念，到了初中，更进一步应用集合的语言表述一些问题。例如，在代数中用到的有数集、解集等；在几何中用到的有点集。至于逻辑，可以说，从开始学习数学就离不开对逻辑知识的掌握和运用，基本的逻辑知识在日常生活、学习、工作中，也是认识问题、研究问题不可缺少的工具。这些可以帮助学生认识学习本章的意义，也是本章学习的基础。把集合的初步知识与简易逻辑知识安排在高中数学的最开始，是因为在高中数学中，这些知识与其他内容有着密切联系，它们是学习、掌握和使用数学语言的基础例如，下一章讲函数的概念与性质，就离不开集合与逻辑。本节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子。这节课主要学习全章的引言和集合的基本概念学习引言是引发学生的学习兴趣，使学生认识学习本章的意义本节课的教学重点是集合的基本概念。集合是集合论中的原始的、不定义的概念在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识教科书给出的“一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集”这句话，只是对集合概念的描述性说明。教学过程：一、复习引入：1．简介数集的发展，复习最大公约数和最小公倍数，质数与和数；2．教材中的章头引言；3．集合论的创始人——康托尔（德国数学家）（见附录）；4．“物以类聚”，“人以群分”；5．教材中例子（P4）。二、讲解新课：阅读教材第一部分，问题如下：（1）有那些概念？是如何定义的？（2）有那些符号？是如何表示的？（3）集合中元素的特性是什么？（一）集合的有关概念：由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集.集合中的每个对象叫做这个集合的元素.定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合．1、集合的概念（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素2、常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合，记作N，N={0,1,2,…}（2）正整数集：非负整数集内排除0的集，记作N*或N+，N*={1,2,3,…}（3）整数集：全体整数的集合，记作Z ,Z={0,±1,±2,…}（4）有理数集：全体有理数的集合，记作Q，Q={整数与分数}（5）实数集：全体实数的集合，记作R，R={数轴上所有点所对应的数}注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0（2）非负整数集内排除0的.集，记作N*或N+Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z*3、元素对于集合的隶属关系（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作aA4、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）5、⑴集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q……⑵“∈”的开口方向，不能把a∈A颠倒过来写。高中数学教学方案设计模板 篇10一、教学目标（一）知识与技能1、进一步熟练掌握求动点轨迹方程的基本方法。2、体会数学实验的直观性、有效性，提高几何画板的操作能力。（二）过程与方法1、培养学生观察能力、抽象概括能力及创新能力。2、体会感性到理性、形象到抽象的思维过程。3、强化类比、联想的方法，领会方程、数形结合等思想。（三）情感态度价值观1、感受动点轨迹的动态美、和谐美、对称美。2、树立竞争意识与合作精神，感受合作交流带来的成功感，树立自信心，激发提出问题和解决问题的勇气。二、教学重点与难点教学重点：运用类比、联想的方法探究不同条件下的轨迹。教学难点：图形、文字、符号三种语言之间的过渡。三、教学方法和手段教学方法：观察发现、启发引导、合作探究相结合的教学方法。启发引导学生积极思考并对学生的思维进行调控，帮助学生优化思维过程，在此基础上，提供给学生交流的机会，帮助学生对自己的思维进行组织和澄清，并能清楚地、准确地表达自己的数学思维。教学手段：利用网络教室，四人一机，多媒体教学手段。通过上述教学手段，一方面：再现知识产生的过程，通过多媒体动态演示，突破学生在旧知和新知形成过程中的障碍（静态到动态）；另一方面：节省了时间，提高了课堂教学的效率，激发了学生学习的'兴趣。教学模式：重点中学实施素质教育的课堂模式“创设情境、激发情感、主动发现、主动发展”。四、教学过程1、创设情景，引入课题生活中我们四处可见轨迹曲线的影子。演示：这是美丽的城市夜景图。演示：许多人认为天体运行的轨迹都是圆锥曲线，研究表明，天体数目越多，轨迹种类也越多。演示建筑中也有许多美丽的轨迹曲线。设计意图：让学生感受数学就在我们身边，感受轨迹，曲线的动态美、和谐美、对称美，激发学习兴趣。2、激发情感，引导探索靠在墙角的梯子滑落了，如果梯子上站着一个人，我们不禁会想，这个人是直直的摔下去呢？还是划了一条优美的曲线飞出去呢？我们把这个问题转化为数学问题就是新教材高二上册88页20题，也就是这里的例题1。